中學(xué)數(shù)學(xué)作圖解題技巧運用方法

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摘要：在中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)與形是基礎(chǔ)的概念，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。因中學(xué)生的形象思維還需不斷提高，所以需要通過作圖的方式幫助學(xué)生掌握基本的解題技巧與思路。除此之外，中學(xué)數(shù)學(xué)知識具有抽象性，部分概念晦澀難懂，學(xué)生難以做到舉一反三，學(xué)以致用，通過作圖的方式能夠化抽象為具象，以此更好地解決數(shù)學(xué)問題。故此，文章從不同的角度出發(fā)，針對性地探究了中學(xué)數(shù)學(xué)作圖解題技巧的方法，旨在提高中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：中學(xué)數(shù)學(xué)；作圖解題；技巧；運用

一、引言

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中圖形是極其重要的組成部分，不僅可以形象的反映數(shù)學(xué)問題，而且也能明晰數(shù)學(xué)條件、結(jié)論之間的關(guān)聯(lián)性，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)解題整合性，啟發(fā)學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生找出隱含條件，建立解題過程。從另外一個角度分析，作圖解題可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題，是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不容或缺的組成部分，可以有效整合數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、技能、方法，所以在教學(xué)中教師需要多角度分析，提高學(xué)生作圖解題的技巧，提高教學(xué)質(zhì)量與效率。

二、中學(xué)數(shù)學(xué)作圖解題技巧的條件

（一）判斷作圖類別

從整體角度分析，在中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，為解決不同的問題所采取的圖像也有所不同，對此在看到題目時，教師需要告知學(xué)生做好圖形類別判斷。其中圖形可分為輔助圖與結(jié)果圖，所謂的輔助圖是不能直接呈現(xiàn)答案的一種圖形，結(jié)果圖則是指能夠清晰展示答案的全部或者一部分的圖形。在計算選擇題或者填空題時，為縮短做題時間，可以選擇輔助圖加以解決，而在解決幾何問題或者函數(shù)問題時，要以結(jié)果圖為主。除此之外，在解題過程當(dāng)中，還要根據(jù)圖的準(zhǔn)確程度劃分為準(zhǔn)確圖與示意圖，示意圖是嚴(yán)格按照題目當(dāng)中的信息進行抽象的展示，而準(zhǔn)確圖的是利用專業(yè)的畫圖工具進行作圖，以此獲得問題的答案。當(dāng)然對于通常情況下的圖像被稱之為一般圖，特殊情況下的圖像被稱之為特例圖，無論哪一種圖像均是作圖解題當(dāng)中需應(yīng)用的一種。換而言之，中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容包羅萬象，所涉及的知識點不僅枯燥而且復(fù)雜，在學(xué)習(xí)不同內(nèi)容時所采取的作圖解題方法也有所不同，對此學(xué)生需要從宏觀角度出發(fā)，對知識點有全面的認(rèn)知，同時也要對作圖解題有全面的理解，才能借助于作圖的形式找到答案。

（二）培養(yǎng)學(xué)生的作圖意識

積極培養(yǎng)學(xué)生的作圖意識同樣至關(guān)重要，在圖形當(dāng)中能夠準(zhǔn)確地將題目當(dāng)中的數(shù)量關(guān)系、空間結(jié)構(gòu)進行展現(xiàn)，促使抽象的問題具象化，復(fù)雜的知識簡單化，對學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題具有推動性。除此之外，培養(yǎng)學(xué)生看題作圖的意識，能夠促使學(xué)生結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想解決實際的數(shù)學(xué)問題。從另外一個角度分析，中學(xué)數(shù)學(xué)當(dāng)中有一部分內(nèi)容是根據(jù)圖形進行解題，比如像幾何題或者函數(shù)題，另外一種題目并沒有提及圖形，但是要想獲得準(zhǔn)確的答案，則需借助于圖形加以解決，獲得答案。所以不論從哪一種角度分析，解題當(dāng)中圖形至關(guān)重要。積極提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的作圖意識，能夠起到事半功倍的作用。

（三）提高學(xué)生的作圖能力

要想提高學(xué)生的作圖能力，那么則需要從多個方面入手，做到以下四點。1．對題目加以理解，保證理解準(zhǔn)確性一般而言，在題目中會涉及隱含條件，且部分條件需要利用圖形進行準(zhǔn)確的呈現(xiàn)，如此才能獲得正確的答案。比如：某學(xué)校舉辦競走比賽，學(xué)生以每小時3千米的速度前進，在經(jīng)過兩個小時之后，校長騎車前往學(xué)生列隊加以觀看，校長的速度是每小時6千米，那么請問校長需要騎多久才能追上學(xué)生？在拿到這道習(xí)題的時候，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對題目當(dāng)中的已知條件與未知條件進行分析，并精確作圖，還要引導(dǎo)學(xué)生進行想象與聯(lián)想，這個時候?qū)W生會想到一次函數(shù)，因考慮到學(xué)生與校長騎車的對應(yīng)時間、速度有所不同，以圖像的形式找出兩個函數(shù)的交匯點，進而獲得正確的答案。當(dāng)然，值得注意的一點，要想保證答案的準(zhǔn)確性，那么需要提高圖形的準(zhǔn)確程度，對此學(xué)生在閱讀題目之后，需要先將文字及時的轉(zhuǎn)化成圖形，而且要了解與觀察這道題是選擇題還是簡答題，假如是選擇題可以直接給出答案，假如是簡答題，那么需要結(jié)合圖形詳細寫出正確的解題思路。2．實現(xiàn)思想畫圖的整合，保證作圖的熟練根據(jù)對教學(xué)大綱的要求分析，可清楚了解到積極培養(yǎng)學(xué)生的畫圖能力是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵所在。在新課改的發(fā)展背景下，培養(yǎng)學(xué)生畫圖能力也成為了教育的重點，畫圖是解題的一大技巧，在畫圖教學(xué)當(dāng)中要想提高學(xué)生的熟練度，那么需采取多做題、多思考、多畫圖的方式，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在拿到數(shù)學(xué)題目之后，以畫圖為主進行解答，在循序漸進當(dāng)中提高學(xué)生的作圖速度以及作圖能力，使其掌握更多的作圖方法。比如：某村莊需要修一口水井，為保證村民打水距離的相等，要求ABC三個地點的距離相等，那么應(yīng)該如何修建水井的位置呢？當(dāng)拿到這一習(xí)題之后，如果題目當(dāng)中要求學(xué)生畫圖，學(xué)生需要做出準(zhǔn)確圖將ABC進行相連，然后在兩條線上做中垂線，依據(jù)中垂線定理逆定理證明中垂線的交點便是最終水井修建的位置。從另外一個角度分析，提高學(xué)生作圖能力的扎實性，能夠有效滿足教學(xué)的要求，但是需注意到的一點，并非所有的題目都需要畫圖即可解決，需經(jīng)過學(xué)生在不斷思考與研究當(dāng)中針對性地進行畫圖，可得出正確的結(jié)論。比如：根據(jù)圖1做出函數(shù)y＝0．5x＋1的圖像，根據(jù)圖像求：（1）當(dāng)x＝－1、0、1的時候，求y的數(shù)值。（2）當(dāng)y＝－1、2的時候，求x的數(shù)值。對于一次函數(shù)的學(xué)習(xí)，畫圖能夠得到最直觀的答案，并且學(xué)生通過畫圖也能夠節(jié)省答題的時間，但是這一類型的圖像往往會給學(xué)生提出更高的挑戰(zhàn)與要求，對此學(xué)生需要準(zhǔn)確掌握基本的理論知識，對公式、概念多加思考，如此才能準(zhǔn)確作圖，避免出現(xiàn)誤差。3．熟能生巧，聯(lián)系圖感度從理論上分析，所謂的圖感是指學(xué)生對圖形的形狀位置加以判斷，可以幫助學(xué)生能夠快速獲得正確的答案。比如：小明在洗衣服的時候選擇利用洗衣機，洗衣機要經(jīng)過四個流程，分別是注水、清洗、排水、脫水，洗衣機之中的水量是y，時間是x，請問下面的圖像哪一個更符合這四個過程。解答這道題的時候，學(xué)生需要全面考慮這道題是對哪一知識點的考查，且在解題的時候不需要準(zhǔn)確的數(shù)字運算，僅僅需要知道水量即可，因為在洗衣機里原本是沒有水了，所以y值是0，伴隨著時間的不斷推移，清洗過程當(dāng)中水量不變，時間不斷推移，進而排水，然后伴隨著水量不減少，由此可以獲得正確的答案。4．綜合思考，保證作圖的合理與完整毋庸置疑，作圖是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵所在，所采取的作圖方式不同，那么解題效果也會有所不同，甚至還會出現(xiàn)不一樣的答案，為避免這一問題的發(fā)生，在作圖的時候需要確定題目要求的圖形，尋找最合理的作圖類型。除此之外，還要將題目當(dāng)中有用的信息進行體現(xiàn)，嚴(yán)格按照題型進行作圖，真正實現(xiàn)文字與圖形的相互整合。當(dāng)然，在幾何與函數(shù)題當(dāng)中，因為對圖形的要求比較高，需要將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，然后根據(jù)圖形加以解答。

三、數(shù)學(xué)作圖解題的方法

（一）明確解題思路，繪制圖形

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，每一個領(lǐng)域都有相應(yīng)的圖形內(nèi)容，比如數(shù)與代數(shù)當(dāng)中會有數(shù)軸圖與函數(shù)圖，統(tǒng)計與概率當(dāng)中會有統(tǒng)計圖，空間與圖形當(dāng)中處處有圖，所以初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)當(dāng)中不僅要教會學(xué)生解題思路的靈活性，而且還要引導(dǎo)學(xué)生在明確解題思路的同時繪制圖形，其中需要做到以下幾點內(nèi)容。1．引導(dǎo)學(xué)生掌握解題的流程一般而言，在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，教師要針對數(shù)學(xué)例題展開示范性講解，為學(xué)生展示畫圖解決問題的重要性與方便性，這樣在長時間的不斷積累下，學(xué)生能夠快速掌握解決問題的主要方法，而且也能了解畫圖的價值。對此，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)當(dāng)中要采取創(chuàng)新作圖法，引導(dǎo)學(xué)生對其有所了解。比如在學(xué)習(xí)與三角形相關(guān)的問題時，部分學(xué)生理解能力比較差，學(xué)習(xí)水平比較低，教師可以借助彩筆等繪制圖形。比如：在△ABC中，已知AB＝AC，AD⊥BC于點D，那么圖1中P是AB上任意一個點，請使用無刻度直尺在AC上尋找一點P1，使AP和AP1相等。其中在對這道習(xí)題進行解題的時候，需要先將CP相互連接，形成交點H，然后連接BH，將其延長到AC相較于P1，由此則可以證明AP和AP1相等。（見下圖）2．幫助學(xué)生掌握解題的方法對于基礎(chǔ)比較差的學(xué)生而言，在學(xué)習(xí)當(dāng)中因無法掌握解題的步驟與技巧，導(dǎo)致數(shù)學(xué)成績一塌糊涂，對此在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生對解題的過程加以探索，并制定完善的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生解決自己學(xué)習(xí)中所存在的一系列問題，尋找題目當(dāng)中的隱藏條件，在不斷剖析當(dāng)中提高解題能力。除此之外，在教學(xué)當(dāng)中教師還要結(jié)合例題，以圖畫演示的方式為學(xué)生講解，不斷訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的作圖水平以及解題水平，這樣在日后遇到數(shù)學(xué)問題學(xué)生能夠快速判斷題目當(dāng)中的已知條件與隱藏條件，并且提高畫圖的敏感性。此外，在看到習(xí)題后，學(xué)生首要考慮的是這道習(xí)題需不需要畫圖，不需要畫圖應(yīng)該怎樣解答，如果需要畫圖畫哪一種圖形，這樣可以提高探索能力。同時，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時候，如果不借助于圖形無法尋找函數(shù)的交點，特別在解決最大值最小值時，學(xué)生會變得束手無措。對此，要通過畫圖的方式提高學(xué)生問題解決能力，加深學(xué)生印象。

（二）樹立良好的審題習(xí)慣

在數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)教師需要遵循以人為本的基本原則，讓學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣。審題是解決數(shù)學(xué)的關(guān)鍵過程，也是尋找答案的過程，尋找解題思路的過程，所以需要對審題加以重視，通過審題可以掌握更多的條件，為解題提供方向，避免迷茫。另外在平常教學(xué)當(dāng)中，教師需要有意識的引領(lǐng)學(xué)生對題目當(dāng)中的已知條件、未知條件進行尋找，這樣可以引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的習(xí)慣，對數(shù)學(xué)題加以充分掌握，提高后期的解題效率與質(zhì)量。

（三）借助于幾何，直觀推動學(xué)生的思維

在數(shù)學(xué)操作活動當(dāng)中作圖是其中不容或缺的一部分，而操作則是思維的開始，通過作圖的有效建構(gòu)，能夠引導(dǎo)學(xué)生的邏輯思維，幫助解決數(shù)學(xué)問題，且這一過程是自主探究的過程。在作圖與分析當(dāng)中屬于交替進行，學(xué)生能夠在理性與感性當(dāng)中找到關(guān)鍵點與關(guān)聯(lián)性，作出正確的圖形，借助于幾何直觀形成猜想，在推理當(dāng)中促進思維的發(fā)展，推動數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。

（四）給未知留有余地，做到可調(diào)可控

一般而言，對于沒有圖的幾何體而言，出題者的意圖不僅是對某一知識點進行考察，而是對學(xué)生的思維以及素養(yǎng)加以探究與試探，而這恰恰是學(xué)生能力的體現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教師需要帶領(lǐng)學(xué)生建立在思維分析之上的作圖意識，要給未知留有余地，保證圖形做到可調(diào)可控。除此之外，教師還要需要帶領(lǐng)學(xué)生通過分析之后作圖，先做出確定的部分，對于不確定的部分，可以采取不同的幾何圖形加以替代，包括射線、直線等，這一類圖形都是可調(diào)控的圖形，通過代替線段能夠讓幾何圖形動起來。

四、結(jié)語

總之，在新課改的深入貫徹下，數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中要提高學(xué)生作圖解題的能力，使其掌握基本的技巧，利用作圖有效解決初中數(shù)學(xué)問題。作圖的價值與優(yōu)勢比較明顯，利用作圖能夠簡化數(shù)學(xué)知識，將復(fù)雜的知識簡單化，讓學(xué)生更加直觀且形象分析題目當(dāng)中的已知與未知點。除此之外，在教學(xué)當(dāng)中，教師需要從不同的角度出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對知識加以分析，尤其要掌握基本的理論知識，對公式、概念加以掌握，做到熟能生巧，并且借助于作圖進行舉一反三，學(xué)以致用。教師要以身作則，在教學(xué)當(dāng)中為學(xué)生講解解決問題的諸多方法，必要的時候還需進行示范，增強學(xué)生的實踐訓(xùn)練能力，提高數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性。

作者：嚴(yán)秀琴