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      已知三角函數值求角數學教案

      前言:本站為你精心整理了已知三角函數值求角數學教案范文,希望能為你的創作提供參考價值,我們的客服老師可以幫助你提供個性化的參考范文,歡迎咨詢。

      【教學過程】:

      一.問題的提出:

      在我們的學習中常遇到知三角函數值求角的情況,如果是特殊值,我們可以立即求出所有的角,如果不是特殊值(),我們如何表示呢?相當于中如何用來表示,這是一個反解的過程,由此想到求反函數。但三角函數由于有周期性,它們不存在反函數,這就要求我們把它們的定義域縮小,并且這個區間滿足:

      (1)包含銳角;(2)具有單調性;(3)能取得三角函數值域上的所有值。

      顯然對,這樣的區間是;對,這樣的區間是;對,這樣的區間是;

      二.新課的引入:

      1.反正弦定義:

      反正弦函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.

      對于注意:

      (1)(相當于原來函數的值域);

      (2)(相當于原來函數的定義域);

      (3);

      即:相當于內的一個角,這個角的正弦值為。

      反正弦:符合條件()的角,叫做實數的反正弦,記作:。其中,。

      例如:,,,

      由此可見:書上的反正弦與反正弦函數是一致的,當然理解了反正弦函數,能使大家更加系統地掌握這部分知識。

      2.反余弦定義:

      反余弦函數:函數,的反函數叫做反余弦函數,記作:.

      對于注意:

      (1)(相當于原來函數的值域);

      (2)(相當于原來函數的定義域);

      (3);

      即:相當于內的一個角,這個角的余弦值為。

      反余弦:符合條件()的角,叫做實數的反正弦,記作:。其中,。

      例如:,,由于,故為負值時,表示的是鈍角。

      3.反正切定義:

      反正切函數:函數,的反函數叫做反正弦函數,記作:.

      對于注意:

      (1)(相當于原來函數的值域);

      (2)(相當于原來函數的定義域);

      (3);

      即:相當于內的一個角,這個角的正切值為。

      反正切:符合條件()的角,叫做實數的反正切,記作:。其中,。

      例如:,,,

      對于反三角函數,大家切記:它們不是三角函數的反函數,需要對定義域加以改進后才能出現反函數。反三角函數的性質,有興趣的同學可根據互為反函數的函數的圖象關于對稱這一特性,得到反三角函數的性質。根據新教材的要求,這里就不再講了。

      練習:

      三.課堂練習:

      例1.請說明下列各式的含義:

      (1);(2);(3);(4)。

      解:(1)表示之間的一個角,這個角的正弦值為,這個角是;

      (2)表示之間的一個角,這個角的正弦值為,這個角不存在,即的寫法沒有意義,與,矛盾;

      (3)表示之間的一個角,這個角的余弦值為,這個角是;

      (4)表示之間的一個角,這個角的正切值為。這個角是一個銳角。

      例2.比較大小:(1)與;(2)與。

      解:(1)設:,;,,

      則,,

      ∵在上是增函數,,

      ∴,即。

      (2)中小于零,表示負銳角,

      中雖然小于零,但表示鈍角。

      即:。

      例3.已知:,,求:的值。

      解:正弦值為的角只有一個,即:,

      在中正弦值為的角還有一個,為鈍角,即:,

      所求的集合為:。

      注意:如果題目沒有特別說明,結果應為準確值,而不應是近似值,書上均為近似值。

      例4.已知:,,求:的值。

      解:余弦值為的角只有一個,即:,

      在中余弦值為的角還有一個,為第三象限角,即:,

      所求的集合為:。

      例5.求證:()。

      證明:∵,∴,設,,

      則,即:,即:,

      ∵,∴,

      ∴,∴,即:。

      例6.求證:()。

      證明:∵,∴,設,,

      則,即:,即:(*),

      ∵,∴,

      ∴,∴,即:。

      注意:(*)中不能用來替換,雖然符號相同,但,不能用反余弦表示。

      四.課后作業。

      書上:P76.練習,P77.習題4.11。(均要準確值,劃掉書上的精確到)

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