多元函數(shù)教學(xué)

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摘要：討論了工科高等數(shù)學(xué)中多元函數(shù)極值的教學(xué)間題,將多元函數(shù)極值的一個(gè)判定方法移植到工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)中去。

關(guān)鍵字：多元函數(shù)，極值，二次型，正定，負(fù)定

1.引言

由于自變量的個(gè)數(shù)大于3時(shí),多元函數(shù)極值存在性的判定比較繁復(fù),現(xiàn)行工科高等數(shù)學(xué)中關(guān)于多元函數(shù)極值存在性判定問題,局限于討論二元函數(shù),這是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的。因此,尋求能被學(xué)生接受的自變量個(gè)數(shù)大于3時(shí)多元函數(shù)極值的存在性的判別方法是十分有必要的。本文介紹了運(yùn)用線性代數(shù)的相關(guān)知識判定多元函數(shù)極值的存在性的方法。這些知識都是成熟的結(jié)果,并非作者的創(chuàng)造發(fā)明,但將這些知識經(jīng)過整理移植到工科數(shù)學(xué)教學(xué)中去卻是一個(gè)十分有意義的工作。這種方法能為大學(xué)生們十分自然地接受,而且能擴(kuò)大工科學(xué)生的知識容量,提高學(xué)生運(yùn)用學(xué)得的知識解決實(shí)際問題的能力,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

2預(yù)備知識

定義1含有個(gè)變量的二次齊次函數(shù)

(2-1)稱為二次型，取，則（2.1）可寫成

當(dāng)為復(fù)數(shù)時(shí),稱為復(fù)二次型；當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型。記

，

則二次型可表示成

,

其中A為對稱陣。二次型與對稱陣A之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系,A稱為二次型的矩陣,而稱為對稱陣A的二次型,對稱陣A的秩稱為二次型的秩。

定義2設(shè)有實(shí)二次型,如果對任何,都有,則稱為正定二次型,并稱對稱陣A是正定的,記作A>0;如果都有,則稱的負(fù)定二次型,并稱對稱陣A是負(fù)定的,記作A<0;如果都有,則稱為半正定的,稱對稱陣A是半正定的,記作;如果都有,則稱了為半負(fù)定的,稱對稱陣A是半負(fù)定的,記作；如果既不是半正定也不是半負(fù)定的,則稱為不定的,相應(yīng)地,對稱陣A稱為不定的。

由定義,實(shí)二次型的正定性與它的矩陣的正定性是等價(jià)的。

關(guān)于對稱陣的正定性有如下判別法:

定理2.1對稱陣A為正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都為正;即

或A的各階主子式都為正。

對稱陣為負(fù)定的充分必要條件是奇數(shù)階主子式為負(fù),偶數(shù)階主子式為正,即

定理2.2對稱陣A為正定的充分必要條件是A的特征值全為正,對稱陣A為負(fù)定的充分必要條件是A的特征值全為負(fù)。

定義3設(shè)有n元函數(shù)，在區(qū)域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，對，記

分別稱和

為在的梯度（grad）和在的海森矩陣（Hessianmatrix）

3多元函數(shù)極值的判別法

定理3.1（必要條件）：設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn)處有極值，則它在該點(diǎn)的梯度必然為零,即

證：反證法。不妨設(shè)為極大值，而，則有某一i，使。不妨設(shè)，則存在的某一鄰域，使得在這一鄰域內(nèi)當(dāng)時(shí)，有，矛盾。

定理3.2（充分條件）：設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則

（1）正定時(shí)，取得極小值；

（2）負(fù)定時(shí)，取得極大值；

（3）不定時(shí)，在處不取極值；

（4）半正定或者半負(fù)定時(shí)，在點(diǎn)處可能取極值也可能不取極值。

證：由連續(xù)性，存在點(diǎn)的某一鄰域，使當(dāng)時(shí)，與同號，于是當(dāng)時(shí)，記

注意到，由一階泰勒公式，

可知，（1）當(dāng)正定時(shí)，，取得極小值；

（2）當(dāng)負(fù)定時(shí)，，取得極大值；

（3）當(dāng)不定時(shí)，不恒大于或不恒小于，因而不是極值；

（4）研究函數(shù)，顯然，為半正定陣，而卻不是的極值

由定理3.2可得如下推論

推論1設(shè)二元函數(shù)在某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又，記，則

（1）當(dāng)在點(diǎn)處取得極小值；

（2）當(dāng)，在點(diǎn)處取得極大值；

（3）當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)不取極值；

（4）時(shí)，在點(diǎn)可能取極值也可能不取極值。

證由定理3.2及定理2.1既得。

推論2設(shè)多元函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則

（1）的特征值全為正值時(shí)，取得極小值；

（2）的特征值全為負(fù)值時(shí)，取得極大值；

證由定理3.2及定理2.2既得。

例1求函數(shù)的極值

解：，

由，解得或。

當(dāng)時(shí)，

因，，

正定，取得極小值；

當(dāng)時(shí)，

，，

不定，在(0,1,1)點(diǎn)不取極值。

4結(jié)束語

上述提出的關(guān)于多元函數(shù)極值的判定方法的教學(xué)方案需同時(shí)開設(shè)高等數(shù)學(xué)和線性代數(shù),在多元函數(shù)極值的教學(xué)中采用上述教案則是水到渠成,得心應(yīng)手的事。如果按照傳統(tǒng)的課程設(shè)置組織教學(xué),采用上述教案也是可行的,沒有多大困難,只需引進(jìn)n維向量、矩陣及相應(yīng)概念。這些概念在多元函數(shù)極值后面的教學(xué)中也很有用,并能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,激勵學(xué)生去自學(xué)一些諸如線性代數(shù),經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)等課程,提高人才素質(zhì),并使后續(xù)的線性代數(shù)教學(xué)更得心應(yīng)手。

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