正切和余切數(shù)學(xué)教案

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第一課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1.使學(xué)生了解正切、余切的概念,能夠正確地用、表示直角三角形(其中一個銳角為)中兩邊的比,了解與成倒數(shù)關(guān)系,熟記30°、45°、60°角的各個三角函數(shù)值,會計算含有這三個非凡銳角的三角函數(shù)值的式子,會由一個非凡銳角的三角函數(shù)值說出這個角的度數(shù),了解一個銳角的正切(余切)值與它的余角的余切(正切)值之間的關(guān)系。

2.逐步培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神。

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法:運用類比法指導(dǎo)學(xué)生探索研究新知。

2.學(xué)生學(xué)法:運用類比法主動探索研究新知。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:了解正切、余切的概念,熟記非凡角的正切值和余切值。

2.難點:了解正切和余切的概念。

3.疑點:正切與余切概念的混淆.

4.解決辦法:通過類比引出概念和性質(zhì),再通過大量直接應(yīng)用,鞏固概念和性質(zhì)。

四、教具預(yù)備

投影機、投影片(自制)、三角板

五、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

1.什么是銳角的正弦、余弦?(結(jié)合下圖回答)。

2.填表

3.互為余角的正弦值、余弦值有何關(guān)系?

4.當(dāng)角度在0°~90°變化時,銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律?

5.我們已經(jīng)把握一個銳角的正弦(余弦)是指直角三角形中該銳角的對邊(鄰邊)與斜邊的比值,那么直角三角形中,兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系如何呢?在銳角三角函數(shù)中,除正、余弦外,還有其他一些三角函數(shù),本節(jié)課我們學(xué)習(xí)正切和余切。

(二)整體感知

正切、余切的概念,也是本間的重點和關(guān)鍵,是全章知識的基礎(chǔ),對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)或工作都十分重要,教材在繼第一節(jié)正弦和余弦后,又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切,像這樣,把概論、計算和應(yīng)用分成兩塊,每塊自與一個整體小循環(huán),第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內(nèi)容,可以有效地克服難點,同時也使學(xué)生通過對比,便于把握銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識。

(三)教學(xué)過程

1.引入正切、余切概念

①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關(guān)系,因此同學(xué)們首先應(yīng)思考:當(dāng)銳角固定時,兩直角邊的比值是否也固定?

因為學(xué)生在研究過正弦、余弦概念之后,已經(jīng)接觸過這類問題,所以大部分學(xué)生能口述證實,并進一步猜測“兩直角邊的比值一定是正切和余切”。

②給出正切、余切概念。

如圖,在中,把的對邊與鄰邊的比叫做的正切,記作。

即

并把的鄰邊與對邊的比叫做的余切,記作,

即

2.與的關(guān)系

請學(xué)生觀察與的表達式,得結(jié)論(或,)這個關(guān)系式既重要又易于把握,必須讓學(xué)生深刻理解,并與區(qū)別開.

3.銳角三角函數(shù)

由上圖,,,,,把銳角的正弦、余弦、正切、余切都叫做的銳角三角函數(shù)。

銳角三角函數(shù)概念的給出,使學(xué)生茅塞頓開,初步理解本節(jié)題目。

問:銳角三角函數(shù)能否為負(fù)數(shù)?

學(xué)生回答這個問題很輕易。

4.非凡角的三角函數(shù)。

①教師出示幻燈片

請同學(xué)推算30°、45°、60°角的正切、余切值。(如下圖)

;

;

;

;

;

.

通過學(xué)生計算完成表格的過程,不僅復(fù)習(xí)鞏固了正切、余切概念,而且使學(xué)生熟記非凡角的正切值與余切值,同時滲透了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

0°,90°正切值與余切值可引導(dǎo)學(xué)生查“正切和余切表”,學(xué)生完全能獨立查出。

5.根據(jù)互為余角的正弦值與余弦值的關(guān)系,結(jié)合圖形,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)互為余角的正切值與余切值的關(guān)系。

結(jié)論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值,任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。

即,.

練習(xí):1)請學(xué)生回答與的值各是多少?與?與呢?學(xué)生口答之后,還可以為程度較高的學(xué)生設(shè)置問題:與有何關(guān)系?為什么?與呢?

2)把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切:

(1);(2);(3);(4);(5);(6)。

6.例題

例1求下列各式的值:

(1);

(2).

解:(1)

;

(2)

=2.

練習(xí)1.求下列各式的值:

(1);

(2);

(3);

(4);

(5).

2.填空:

(1)

(2)若,則銳角

(3)若,則銳角

學(xué)生的計算能力可能不很強,尤其是分式,二次根式的運算,因此這里應(yīng)查缺補漏,以培養(yǎng)學(xué)生運算能力。

(四)總結(jié)擴展

請學(xué)生小結(jié):本節(jié)課了解了正切、余切的概念及與關(guān)系.知道非凡角的正切余切值及互為余角的正切值與余切值的關(guān)系.本課用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.

結(jié)合及,可擴展為.

六、布置作業(yè)

1.看教材P12~P14,培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。

2.教材P16中習(xí)題6.2A組2、3、4、5、6.

七、板書設(shè)計

第二課時

一、教學(xué)目標(biāo)

1.鞏固正、余切概念,學(xué)會用正、余切來解決問題.

2.通過例題教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力;通過歸納、概括,培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力。

3.培養(yǎng)學(xué)生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、學(xué)法引導(dǎo)

1.教學(xué)方法:指導(dǎo)探索研究法。

2.學(xué)生學(xué)法:主動探索研究法。

三、重點、難點、疑點及解決辦法

1.重點:用正、余切解直角三角形。

2.難點:靈活運用正切、余切。

3.疑點:學(xué)生可能對正切、余切概念把握不牢,導(dǎo)致出現(xiàn)之類的錯誤,教學(xué)中應(yīng)引起重視,使學(xué)生熟能生巧。

4.解決辦法:通過教師精心引導(dǎo),學(xué)生積極思維,主動研究發(fā)現(xiàn),及練習(xí)鞏固解決重難點及疑點。

四、教具預(yù)備

投影機(或電腦)、自制投影片(或課件)、三角板

五、教學(xué)步驟

(一)明確目標(biāo)

結(jié)合圖,說出什么是的正切、余切?

請班級里較差學(xué)生回答,以檢測其把握情況.

2.與具有什么關(guān)系?

答:(或或).

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?

答:,

3.互為余角的正切值與余切值具有什么關(guān)系?

答:,

4.在0°~90°間,正切、余切值隨角度變化而變化的規(guī)律是什么?

通過以上四個問題,使學(xué)生對新學(xué)的知識有了系統(tǒng)的熟悉,便于應(yīng)用.

對概念的鞏固最好的途徑是配備練習(xí)題.因此,教師在引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)概念后,應(yīng)出示練習(xí)題(投影片).

1.在中,為直角,、、所對的邊分別為。

①若,,則,,,

②若,則

2.比較大小:

①②

③④

3.計算題:

①;

②.

(二)整體感知

本課安排在本小節(jié)末,運用本小節(jié)的知識去解決一個簡單問題,再次為本章第二節(jié)解直角三角形做好預(yù)備.當(dāng)然,這個問題只用上一小節(jié)學(xué)過的正弦、余弦也可以解決,不過那樣做,就要先求出斜邊,解的過程要繁瑣一些。

(三)教學(xué)過程

1.講授新課

例在中,為直角,所對的邊分別是,已知,,求(保留兩位有效數(shù)字).

這個題是本大節(jié)知識的綜合運用,考查知識點面面俱到,是檢查全體學(xué)生是否全面達到教學(xué)目標(biāo)要求有效途徑,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生全體參與,積極地探求各種解法,然后加以比較,優(yōu)選出最佳方法,以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈敏性、深刻性,形成良好的思維品質(zhì)。

分析:本題已知和,求,觀察圖不難發(fā)現(xiàn),邊恰好是的對邊與鄰邦邊,因此求可選用以下兩個關(guān)系式:(1),(2).

請學(xué)生比較一下,哪一個關(guān)系計算更簡便呢?答:若選用,由此得,用除以含四位有效數(shù)字的數(shù),計算比較麻煩;而選用,由此得.用乘以含四位有效數(shù)字的數(shù),計算相對方便.

解:,

∴

解完例題之后,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生小結(jié):本題顯示了“除法與乘法在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)化”,其中“條件”是與互為倒數(shù).認(rèn)真分析和利用這種轉(zhuǎn)化,有時可使計算簡便.

2.鞏固練習(xí)

本節(jié)課實際上是對前面課的綜合,通過對前面知識的綜合運用,以培養(yǎng)學(xué)生的比較、分析、概括等邏輯思維能力.因此例題后應(yīng)安排練習(xí)題如下:

在中,為直角,、、所對的邊分別為.

(1)已知,,求和.

(2)已知,,求和.

(3)已知,,求.

(4)已知,,求.

(5)已知,,求.

(6)已知,,求和(保留兩位有效數(shù)字).

教法說明:給學(xué)生足夠的時間,引導(dǎo)學(xué)生討論、研究,篩選出最佳關(guān)系式使計算簡便,既培養(yǎng)學(xué)生計算能力,鞏固所學(xué)知識,又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力.

[參考答案](1),;(2),;(3);(4);(5);(6),.

3.對學(xué)有余力的學(xué)生,可引導(dǎo)其讀教材P15想一想.使學(xué)生對正弦、余弦間的關(guān)系,正切、余切間的關(guān)系以及弦、切間的關(guān)系有所了解,保證知識的完整性,為高中三角函數(shù)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).教師板書

.

(四)總結(jié)、擴展

引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):1.要認(rèn)真分析直角三角形中的各邊與角的三角函數(shù)關(guān)系.2.因為同一個角的正切和余切可以互相轉(zhuǎn)化,所以在選用關(guān)系時晝選擇乘法使計算較簡便.

六、布置作業(yè)

1.看教材P1~P17,培養(yǎng)學(xué)生看書習(xí)慣。

2.教材P17習(xí)題A組7、8,學(xué)有余力的學(xué)生可選做B組題。

七、板書設(shè)計