高考數學歸納法

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高考數學歸納法范文第1篇

關鍵詞：高考;數學歸納法;變化

高考完畢，縱觀各類試題，不難發現數學歸納法在試卷中占有很大的比例，為什么擱置數年之后的數學歸納法重現江湖呢？數學歸納法有固定的模式，用途廣泛，方法單一，沒有太多的技巧，學生不用花許多時間去構造數學模型就能解決問題. 但是回歸后的數學歸納法已經不是過去那種單純給定結論來證明的數學歸納法了，它要經過一系列的變化，再猜想結論、證明結論. 證明方法主要有三大變化特點：

由“n=k”到“nk”三部分，三部分的性質有時互相融合

例1 （2014年廣東卷理）設數列{an}的前n和為Sn，滿足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N*，且S3=15.

（1）？搖求a1，a2，a3的值;

（2）求數列{an}的通項公式.

解：（1）a1=s1=2a2-3×12-4×1=2a2-7

①，

a1+a2=s2=4a3-3×22-4×2=4a3-20②，

a1+a2+a3=s3=15③，？搖？搖？搖

聯立①②③可解a1=3，a2=5，a3=7.

（2）由（1）可以猜想：an=2n+1（n∈N+），

數學歸納法證明：（Ⅰ）當n=1，a1=2×1+1=3，結論成立;

（Ⅱ）假設當n

sn= = =n（n+2）④，由題意可知

an+1= ⑤，即有當n=k+1時，由④⑤可知

ak+1= = =2k+3=2（k+1）+1，結論成立.

由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，猜想an=2n+1，（n∈N+）結論成立.

評注：在此例的歸納推理過程中，改頭換面的是由“n=k”到“n

由“n=k+1”到“n=k”的變化特點：表面上“n=k+1”收縮到“n=k”，歸納的起點前移了，實際上“n=k”擴充到“n=k+1”，歸納的起點后移了，滿足n=k+1歸納推理過程

例2？搖 （2014年“北約”試題）已知xi>0（i=1，2，3…，n）且x1x2…xn=1，求證：

（ +xi）≥（ +1）n.

證明：由題意可知，至少存在一對xi，xj，滿足0

（數學歸納法）（1）當n=1時，驗證結論顯然成立.

（2）假設當n=k時，結論也成立，即有 （ +xi）≥（ +1）k成立，從而當n=k+1時，

x1x2…（xkxk+1）=1， （ +xi）?（ +xkxk+1）≥（ +1）k（假設中的結論）

（ +xi）=（ +xk）（ +xk+1） （ +xi）=（2+ xi+ xk+1+xkxk+1） （ +xi）=（2+ xk+ ?xk+1+ +xkxk+1- ） （ +xi）=（ +xkxk+1） （ +xi）+ ?（ +xk+xk+1-1） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +xk） （ +xi）≥（ +1）k+ （ +1）k=（ +1）k+1，

即n=k+1時，結論也成立;

綜合（1）（2）知，對于任意n∈N*，原結論正確.

評注：在此例的歸納推理過程中，稍加分析，歸納奠基就出來了――同上題一樣改頭換面是：當n=k+1時的xk?xk+1相當于當n=k時的xk，xk+xk+1-1xk，“終點”擴張了，這里巧用假設是證題關鍵.

同樣，推優保送卷的命題者也對數學歸納法情有獨鐘，若知道數學歸納法的步驟，那么數學歸納法也保證你不會得很難堪的分數，這就是命題者喜歡數學歸納法的原因吧！

例3 （2006年復旦大學推優保送題）對于任意n∈N，x1，x2，…，xn均為非負實數，且滿足x1+x2+…+xn≤ ，試用數學歸納法證明：（1-x1）（1-x2）…（1-xn）≥ 成立.

證明：由已知條件得，x1，x2，…，xn∈0， .

（1）當n=1時，x1≤ ，則-x1≥- ，則1-x1≥ ，即此時結論成立.

（2）假設當n=k （k∈N*）時，結論正確，即當x1+x2+…+xk≤ ，必有（1-x1）（1-x2）…（1-xk）≥ . 那么當n=k+1時，由于x1+x2+…+xk+xk+1≤ ，即x1+x2+…+xk-1+（xk+xk+1）≤ ，則（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）?（1-xk-xk+1）≥ （假設），

則？搖（1-x1）（1-x2）…（1-xk）（1-xk+1）=（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+xkxk+1）≥（1-x1）（1-x2）…（1-xk-1）（1-xk-xk+1+0）≥ ，？搖

即結論當n=k+1時也正確. ？搖

綜合（1）（2）知，對于任意n∈N*，原結論正確. ？搖？搖

評注：在此例的歸納推理過程中，數學歸納法的基本步驟沒變，改頭換面的是：當n=k+1時的xk+xk+1相當于當n=k時的xk，“終點”擴張了.

原題不能夠用常規方法或原題給的條件不全面，先猜測，再用數學歸納法加強條件，運用“特殊到一般”、“由點到面”的邏輯關系

例4 （2014年重慶卷理）設a1=1，an+1= +b（n∈N*）

（1）若b=1，求a2，a3及數列{an}的通項公式.

（2）若b=-1，問：是否存在實數c使得a2n

解：（1）a = +1（n∈N*）略.

（2）由題意可知：a1=1，an+1= -1，an<1;利用特征根法n∞，an+1=an=λ，λ為常數，解得λ= . （也可以先算出a2，a3，a4…，再歸納猜想）

由此用數學歸納法證明命題：a2n

（Ⅰ）當n=1時，a2=0，a3= -1，即a2<

（Ⅱ）當n=k時，結論也成立，即a2k

由于an+1= -1（n∈N*）在（-∞，1]上為減函數，c= -1>a2k+2= -1>0=a2.

即1>c>a2k+2>a2，同理由函數的單調性，c= -1

高考數學歸納法范文第2篇

關鍵詞：歸納思想；高中數學教學；應用

新課程改革的全面深化要求教師在課堂教學中更加注重培養學生的思維能力和創新能力，為學生以后的發展打下更好的基礎。數學是一門抽象的學科，它在教學中非常重視抽象的數字含義以及推理過程。結合數學的學科特點和新課改的要求來看，歸納思想對于高中數學應用教學有著重要意義。

一、歸納思想的概述及意義

廣義的歸納思想就是學生在已有的認知結構的影響下，通過觀察、聯想、類比、歸納、推理等，做出新的合情合理的認知過程。歸納思想無論對數學教學自身還是我國素質教育而言都具有重要意義。對數學而言，數學的創造過程不同于其他學科，在數學產生的過程中，為了證明一個定理之前需要經過合理的設想，然后進行檢驗、完善，最后進行修改。在經過再三的驗證、修改、再驗證的循環過程之后，才能真正形成定理，在這個過程中需要充分運用的就是歸納的思想。

二、數學歸納思想在高中數學教學中的應用

數學歸納法是高中數學教學中最具代表的歸納思想。它在教學中采用同歸納推理與演繹推理相結合的方式，更容易被學生接受。數學歸納法基本又分為兩種：一種是完全歸納，一種是不完全歸納。不完全歸納是通過對題目中的部分對象進行觀察，得出的一般性結論。這種歸納方法是由特殊到一般，有時候可能會出錯，需要進行嚴密的論證結果。完全歸納法則是根據歸納原理得出嚴密結論的推理方法。

1.數學歸納法的基本步驟

例如，要證明一個與正整數n有關的命題的步驟是這樣的：

（1）驗證n=k1時命題成立；（2）假設n=k，（k≥k1）成立，那么證明n=k+1也成立。

2.數學歸納法重點

（1）數學歸納法的第一步和第二步是基礎和依據，都是必不可少的。

（2）在證明n=k+1命題成立之前，一定會用上假設n=k，（k≥k1）成立。進行第二步運算時要想清楚先要獲取目標等式，然后再想辦法驗證。

新課程改革的全面深化更加要求教師在課堂教學中更加注重培養學生的思維能力和創新能力，為學生以后的發展打下更好的基礎。歸納思想在高中數學教學中被廣泛使用，能夠更好地被學生掌握，同時對于高考數學習題的解答有很大幫助，應該受到更加廣泛的推廣。

高考數學歸納法范文第3篇

關鍵詞：中日韓；高考數學試題；比較分析

中圖分類號：G639.3/.7 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0158-02

通過查閱中日韓三國的高中數學課程的相關文獻，對中日韓三國若干年的高考數學試題的分析和研讀三國的數學高考出題原則發現，三國的高中數學有所不一樣，在課程的設置方面，中國的高中數學教材分必修和選修模塊；日本的高中數學設置了7個科目：《數學基礎》、《數學Ⅰ》、《數學Ⅱ》、《數學Ⅲ》、《數學A》、《數學B》和《數學C》；韓國的高中數學教材分數學一、數學二和選修部分，在高考數學的試題方面，三國的高考數學試題也存在比較大的差異性。本文主要從三國高考數學試題的試題形式、試題題量、試題內容、試題背景這四個方面進行對比分析。

一、試題形式的比較

從直觀的題目的設計形式上來看，三國的試題形式都有所不同，日本的高考試題在形式方面比較單一，以簡答題的形式出題，韓國的高考試題有選擇題和簡答題兩種形式，而中國的高考試題分選擇題、填空題、解答題這三大形式。在試題的設計形式上看，中國的高考試題顯得比日韓兩國的高考試題更全面和多樣化，另外在設置選擇題的備選項中，中國的高考試題每道選擇題設置四個選項，分別是A，B，C，D選項，而韓國的選擇題設置的是①，②，③，④，⑤五個選項，顯然，這樣增大了選擇的難度。通過以上高考數學試題設計形式的比較，可以看出中國高考數學試題的形式相比之下多樣化，從而可以更容易從不同的方面考查學生知識的掌握情況，選擇題考查學生對知識的再認知的過程；填空題考查學生對知識的回憶過程；解答題考查學生對知識的應用過程，這些不同形式選擇題、填空題、解答題從不同層次考查學生對知識的掌握情況，這樣考查面更廣、更全。

二、試題題量的比較

從高考出題的題量方面上看，中國的高考數學試題共有22道題，其中12道選擇題，4道填空題，6道解答題，總分為150，客觀題占60分，主觀題占90分，韓國出題共40道題，必做題為25道，另外為15題中選5個的選做題，共需要做30個題，總分為100分，客觀題占68分，主觀題占32分。相比中國和韓國的高考試題，日本的高考試題的題量相對較少，試題題量越少，對所學知識的考查就越不充分，所以在題量方面設計時不宜太少。

三、試題內容的比較

關于試題內容方面，中日韓三國的高考數學考查的內容大部分是相同的，其中函數（對數函數、指數函數、三角函數）、數列（等差數列、等比數列）、排列組合、概率等都是重點考查的內容，不同之處在于中國的高考數學試題沒有涉及到對矩陣、極限、正態分布、數列收斂、積分定理等的考查，在中國，概率正態分布只是作為閱讀資料，不作為高考的考試范圍，矩陣、積分定理在高中的教材也沒有出現，它是高等數學中的內容。同樣極限、條件概率也是在高等數學中才重點學習，而以上這些內容在日韓的高考試題中是常見的，另外韓國的高中數學內容有一小部分是在中國的初中階段就已經學習了，可見日韓高考試題的覆蓋范圍要比中國的高考數學的范圍大。中國高考數學的考查范圍較小，但是考查的知識點比較細，試題注重知識的基礎性，無論是函數還是立體幾何，各個知識點考查得比較全面，比較細致，如概念、性質、定理等的應用。

例如考查函數的知識，函數的定義域或是值域這些基本概念在中國是?？嫉摹?/p>

例：（中國）1.函數y=■+■的定義域為（？搖？搖）.

A.{x|x≥0} B.{x|x≥1}

C.{x|x≥1}∪{0} D.{x|0≤x≤1}

韓國的高考試題注重考查學生的計算能力、理解能力、推證能力、解決問題的能力，對于計算能力的考查，通常會以指數（有理數的指數運算）、對數的計算、矩陣的計算（矩陣的加法與乘法）、極限的計算形式出現.例如：

1.求（log327）×8■.

①12？搖？搖？搖②10？搖？搖？搖③8？搖？搖？搖④6？搖？搖？搖⑤4

2.已知A=-1 0 0 1，B=2 13 3，求（A+B）-1.

①1？搖？搖？搖②2？搖？搖？搖③3？搖？搖？搖④4？搖？搖？搖⑤5

3.求■■.

①1 ②■ ③3 ④■ ⑤3

四、試題背景的比較

中日韓三國的國情、社會發展的不同必然會導致三國的高考數學的出題背景不一樣，總的來說，中國的高考試題很多是以課本的例題、習題為變式題，通過簡單的變形、延展來改編，試題與現實生活結合得不夠緊密.另外，每年的高考試題在題型方面幾乎都一樣，解答題一般都是考查6種題型：三角函數、立體幾何、函數與不等式、統計與概率、圓錐曲線、數列，所以在試題的背景方面體現不出新穎性.相比之下，日韓兩國的高考試題都是比較生活化的，同時也關注培養學生的數學文化素養.下面舉例說明此問題.

1.對于指數與對數的考查.例（韓國）：某溶液的氫離子濃度為H■，該溶液的酸性度用pH值定義為pH=-logH■.在攝取1塊糖以后提取唾液測得的pH值為6.6.10分鐘以后再提取唾液測試氫離子濃度，其值是最初提取唾液時測得值的50倍，求此時的pH值.（其中log2=0.3）

①3.7？搖？搖？搖②4.0？搖？搖？搖③4.3？搖？搖？搖④4.6？搖？搖？搖⑤4.9

像以上這種結合實際生活考查對數與指數的題目，韓國的高考中經常出現.而在中國的高考數學試題中是沒有，中國的高考題中對指數和對數的考查只局限于老形式，沒有新情景.

例（中國）：若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，x1+x2=（？搖？搖）.

A.■ B.3 C.■ D.4

所以這也是中國的教育需要向韓國借鑒的.

2.在數列部分考查.例（中國）：已知等差數列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項的和S10（？搖？搖）.

A.138 B.135 C.95 D.23

例（日本）：數列{an}滿足下列條件，a1=1，a2=1，an+2=7an+1

+an（n=1，2，3…）

①請用數學歸納法證明a3n（n=1，2，3…）是偶數.

②證明a4n（n=1，2，3…）是3的倍數.

同樣是考查數列內容，中國試題與課本上的形式基本一致，日韓的有利用數學歸納法證明的題，還有推測各項求數列和的題，可見日韓試題的載體和解答都比我國新穎.

3.再如對于概率知識的考查.中國歷年都是考查離散型隨機變量的概率分布和數學期望的概念和運算，也有部分考題將對相互獨立事件的概率，二項分布或超幾何分布等概念的考查融于對隨機變量的概率分布和數學期望的考查之中.比起日韓，中國關于這部分內容所考查的知識點比較全面，對基本知識的要求比較高，但是在試題的覆蓋面上和考題的類型上，日韓的試題的覆蓋面更廣，考題類型更多樣化，而且試題的背景更加生活情景化.

例2（韓國）：一個電視100個頻道，這個電視的遙控器的一部分如圖，這個電視顯示著50頻道，若從增加和減少的兩個按鈕中任選一個按一下，這樣一共按六次，則電視仍然顯示50頻道的概率為？（沒按一下按鈕電視會增加或減少一個頻道）

①■ ②■ ③■

④■ ⑤■

總體上來看，中國高考數學試題的表現形式比較規范，考查的知識點比較精細，強調雙基和運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，而日韓兩國的試題更加強調考查學生的形象思維及理解能力、解決問題的能力，所以在高考數學編制試題方面，日韓兩國的這些優點值得中國借鑒.

參考文獻：

[1]趙榮夫.高考數學試題的背景研究[J].數學教學研究，2006，（12）.

[2]周莉莉.中日韓數學高考對比探究[J].中學數學教學參考，2001，（4）.

[3]劉文.日本數學課程改革的特點及其啟示[J].教育科學，2000，（4）.

高考數學歸納法范文第4篇

關鍵詞： 數列求和 公式 常用方法

牢記等差數列和等比數列的求和公式，利用公式求和是一切求和方法的根本.在牢記公式的基礎上，要學會靈活應用公式，會利用公式的變形進行求和.下面對數列求和的經典方法一一進行介紹.

1.部分求和法

何謂部分求和，一分為二看，就是將數列分成兩個或兩個以上可直接求和的數列，然后求出數列的前n項和.

例1：求和：3+5+7+…+［（2n+1）+］.

解：原式=［3+5+7+…+（2n+1）］+［+++…+］

=+=n+2n-+1

2. 并項求和法

將數列的某些項先合并，使合并后可化為直接求和的數列就是一種很有效的方法：遇通項還未求和的數列求和時，先將各項求和再求和.

例2：求1,1+2,1+2+2,…，1+2+2+…+2的前n項和.

解：s=1+（1+2）+（1+2+2）+…+（1+2+2+…+2）

因為1+2+2+…+2==2-1

所以s=（2-1）+（2-1）+（2-1）+…+（2-1）

=（2+2+2+…+2-n=-n=2-n-2

3.列項求和法

如果數列通項滿足a=（d>0）的形式，就可列項為（-），然后進行消項求和.

例3：求和：+++…+.

解：原式=（1-）+（-）+（-）+…

+（-）

=（1-+-+-+…+-）

=（--）=

4.錯位相減法

若數列{a}是等差數列，數列是等比數列，c=ab，則求數列{c}前n項和s用該方法.

例4：求和：s=+++…+.

解：因為s=+++…+（1）

s=（++…+）+（錯位）（2）

由（1）-（2）得（相減）：

s=（+++…+）-=-

所以s=1-.

5.降次求和法

根據一些恒等式，將高次項求和問題轉化為低次項求和問題的方法.

例5：求和：（1+1）-1+（2+1）-2+…+（n+1）-n.

解：因為（n+1）-n=3n+3n+1

所以s=（3×1+3×1+1）+（3×2+3×2+1）+…+（3n+3n+1）

=3（1+2+…+n）+（3×1+1+3×2+1+…+3n+1）

=3+

=

=n+2n+3n

6.猜想證明法

由遞推關系給出的數列的通項來求和，該方法關鍵在于根據已知條件寫出a的通項公式再求和.

例6：已知數列中{a}中，a=1,a=a+，求s.

解：因為a=a+;2a+1;2a-2a=1，

所以{2a}成以1為公差的等差數列，

所以2a=2a+（n-1）×1=n.

所以a=n（）,S=1×（）+2×（）+3×（）+…+n（）（1）

S=1×（）+2×（）+…+（n-1）（）+n（）（2）

由（1）-（2）得：

S=1++…+（）-n（）=-n（）

=-（）（+n）+

7.倒序求和法

例如：如果一個數列，與首末等距離的兩項之和等于首末兩項之和，則可把“正著寫的和式”與“倒著寫的和式”相加，得到一個常數列的和，這種求和方法就可看作是靈活利用公式求和的典型，稱為倒序相加求和法．

例7：若f（x）=，求和：f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6）.

解：令s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+f（5）+f（6），

則s=f（6）+f（5）+…+f（1）+f（-4）+f（-5）,

所以

2s=［f（-5）+f（6）］+［f（-4）+f（5）］+…+［f（0）+f（1）］+…+［f（6）+f（-5）］

又

f（x）+f（1-x）=+

=

==

所以2s=×12=6，得s=3.

8.周期法

數列是一種特殊的函數，所以數列中也必然存在著周期問題． 有些數列題，表面上看與周期無關，但實際上隱含著周期性，一旦揭示了其周期性，問題便迎刃而解．

例8： 數列{a}中，a=1，a=2，若對一切n∈N，有aaa=a+a+a，且aa≠1，則該數列2008項的和s的值是多少？

解:由a=1，a=2，得a=3，所以s=6. 因為aaa=a+a+a，所以aaa=a+a+a.兩式相減得aa（a-a）=a-a，又aa≠1,所以a=a，周期T=3.所以s=s+a=669s+a=4015.

9.導數法

抓住數列通項的結構特征，啟迪直覺，類比“記憶模式”，精心聯想，構造恒等式，借助導數，得到新的恒等式，出奇制勝.

例9： 已知n∈N，求和：C+2C+3C+…+nC.

解：由（1+x）=C+2C+3C+…+nC

兩邊求導得：

n（1+x）=C+2C+3Cx+…+nCx

令x=1，得C+2C+3C+…+nC=n•2

10.數學歸納法

有些題目可通過求出{a}的前幾項之和，猜想出s，然后用數學歸納法給予嚴格證明.

例10：設數列的前n項之和為s，滿足3（s+nb）=1+2b（n∈N），求s.

解：因為s=b，由3（s+nb）=1+2b得3（s+s）=1+2s，

所以s=.

而b=s-s，所以3［s+2（s-s）］=1+2（s-s），得s=.

同理可得s=，猜測s=（n∈N）.

下面用數學歸納法加以證明：

（1）當n=1時，結論顯然成立.

（2）假設n=k時結論成立，即s=（k∈N）.

由題設3［s+（k+1）b］=1+2b，得b=.

又因為s=s+b，所以s=＋，

解得s=.

這就是說n=k+1時結論成立.

根據（1）（2），對于n∈N，s=總成立.

參考文獻：

［1］張娟. 數列求和的幾種有效方法［J］. 數理化學習（高中版），2010，（09）.

［2］王友紅.一些特殊數列的求和［J］.考試（高考數學版），2009，（Z4）.

［3］林明成. 數列求和十法［J］.數理化學習（高中版），2010，（09）.

高考數學歸納法范文第5篇

【關鍵詞】數列求和 常用方法 高考難點 高考教學

【中圖分類號】G632 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）24-0149-01

數列求和是高中數學的一個重點，也是高考的難點，縱觀山西省近幾年高考數學的最后一題，都是數列與函數、不等式、解析幾何、立體幾何、導數、三角、向量、二項式等知識聯系在一起，以它的復雜多變、綜合性強、解法靈活等特征成為高考的壓軸題，因此搞好數列求和的學習是非常重要的，經過整理，常見的數列求和的方法有四種：

一 常用公式法

直接利用公式求和是數列求和最基本的方法。常用的數列求和公式有：

Sn= =na1+ d （ 為等差數列）

Sn= = （q≠1）或sn=na1（q=1）

（ 為等比數列）

二 乘比錯位相減法

對于數列 ，若an=bn·cn且數列 、 分別是等

差數列、等比數列時，求該數列 前n項和時，可用該方法。

例1：求和Sn= + + + +… 。

設an= =n· ，其中 為等差數列， 為等比數

列，公比為 ，利用錯位相減法求和。

兩端同乘以 ，再兩式相減得：Sn=2- - 。

說明：乘比錯位相減法實際上是把一個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題。

三 分組求和法

對于數列 ，若an=bn± 且數列 、 …都能

求出其前n項的和，則在求 前n項和時，可采用該法。

例2：求和Sn=0.9+0.99+0.999+0.9999+… 。

解：設an= =1-10-n

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an

=n- （1-10-n）

四 倒序相加法和倒序相乘法

1.倒序相加法

在教材上推導等差數列 前n項和Sn的公式：Sn=

使用的就是該法，推導過程參看教材。

例3：求和S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°。

解：S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289° （1）

S=cos21°+cos 22°+cos 23°+…+cos 289° （2）

由（1）+（2）得：S= 。

例4：求和Sn= +2 +3 +…n 。

解析：據組合數性質 = ，將Sn倒序寫為：Sn=n +（n-1） + 。

以上兩式相加得：2Sn=n（ + + +…+ + ）=n·2n。

因此，Sn=n·2n-1。

2.倒序相乘法

例5：已知a、b為兩個不相等的正數，在a、b之間插入n個正數，使它們構成以a為首項，b為末項的等比數列，求插入的這n個正數的積pn。

解：設插入的這n個正數為a1、a2、a3…an，且數列a1、a2、a3…an、b成等比數列。

則：ab=a1·an=a2·an-1=…

pn=a1·a2·a3…an （3）