排列組合練習題

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排列組合練習題范文第1篇

關鍵詞：考試；高中數學；排列組合

■引言

排列組合作為代數課中一個分支內容，與其他教學模塊有著十分緊密的聯系，然而對于高中學生來說這卻一直是學習的難點，教師也普遍反映在教學排列組合的時候很難用簡潔明了的語言把要點闡釋清楚，因此學生在考試的時候往往會失分很多. 學生在學習排列組合時遇到的學習障礙不僅在這一模塊失分，還會嚴重影響到學生的學習數學的信心. 因此教師必須對學生學習排列組合時遇到的各種問題加以整理，并針對性提出解決策略，幫助學生克服這一學習難點.

■契機

筆者所在學校數學調研組為了解學生對排列組合的學習掌握情況進行了一次摸底考試，此次考試的內容包含了高中階段排列組合的所有知識點和題型，尤其是將各班數學教師整理出來的錯誤率較高的題目類型包含在內. 為了節省學生們的時間，此次摸底考試，學校力求以最少的題目囊括最多的題型和知識點. 由于此次摸底考試主要考查學生在學習排列組合中遇到的思維性問題或知識性問題，故考試題型全部設定為應用題，要求學生把解題過程都明確寫明.

經過任課教師和調研組教師再三商討，最終此次摸底考試共設置9個題目. 題目的背景和學生們日常生活都緊密關聯，例如獻血問題、排隊問題、分書問題等等. 這幾個題目盡可能多包含了排列組合中知識點，例如對于特殊元素和位置的排列問題、元素相鄰（或不相鄰）問題、某些元素固定排列問題、正難則反問題等等. 對這次摸底考試答題結果進行統計和分析，我們看到了學生在學習排列組合時出現的一些集中性問題.

■問題

對學生答題結果進行統計以后我們發現學生產生錯誤的地方相對集中.

例如：“班上某小組共有5位男生和3位女生，現在要求對他們進行排序，要求男生A不能站在隊首，男生B不能站在隊尾，請問一共有多少種方法.” 此次摸底考試中該題的正確率只有39.9%. 這題的答題結果能清楚反映出學生對排列組合中關于特殊元素和特殊位置的這一類型的問題掌握力度還不夠.

在深入對學生錯誤進行分析以后，我們發現，做錯該題的原因有多種.

1. 這其中有一部分學生是因為沒有正確理解題目的意思，所以在解題的時候根本無法下手，答題區域沒有涂涂改改，甚至一片空白，沒有任何解題頭緒. 這反映出學生們的數學閱讀理解能力較差，缺乏信心，不敢作答.

2. 有38%的學生沒有答對是因為沒有正確的列式. 這其中一部分學生是因為過于粗心，沒有認真仔細讀題就將數學公式帶入計算；除了粗心以外絕大部分學生是對這一類特殊元素和特殊位置的題目缺乏正確的解題思路. 有的學生簡單地認為A同學不站在隊首共有7種情況，B同學不站在隊尾也有7種情況，除去A、B兩位同學以后，只要將剩下6位同學進行排列組合看看共有多少種排列方法即可. 這樣做的學生不在少數，原因是他們僅僅考慮了一種A不在隊首的站法，而事實上，A同學不站在隊首必須分為在隊尾和不在隊尾兩種情況，如果A同學站在隊尾，那么B同學就可以有7種站法；如果A同學沒有站在隊尾，那么B同學就有6種站法. 這兩種情況的計算結果是不一樣的，絕大多數的學生都沒有考慮到這一特殊情況，說明對特殊元素和特殊位置題目掌握還不夠好.

3. 從一部分學生的答題結果來看，他們有基本的解題思路也考慮到了應該將A同學的情況進行分類，但是卻在分類的時候陷入了混亂. 有的學生不知道應該按照什么標準來進行分類. 有的學生在分類的時候出現了遺漏和重復的現象，例如某位學生把該事件分為三類：分別是①B站在隊首，A站在隊尾；②B站在隊首，A在中間；③B站在中間，A站在隊尾. 這樣的分類方法得出來結果必然是不完整的，他沒有考慮當B站在中間的時候A既可以站在隊尾，也可以站在中間的情況. 這一錯誤原因反映出來學生們在考慮這一類型題目的時候還不夠全面細致.

除了上述這一小題存在問題以外，類似的問題還存在于“將9本書平均分成3組”這樣的平均分配問題；“將6個歌唱節目和4個舞蹈節目進行排列，要求任何兩個舞蹈節目不得相鄰”這樣的元素不相鄰問題；“8本中文書和2本英語書任選5本，要求至少有一本英語書”這樣的“至少”或“至多”的排列組合問題.從此次摸底考試的結果分析中，我們可以總結出學生在學習排列組合時遇到的問題.

首先是對題目概念理解存在障礙，很多學生還不能明確區分排列和組合以及分配這三個完全不同的概念. 在實際做題的時候有的學生往往把要求排列的問題當做是組合問題去解決，把組合問題當做是分配問題去解決.

其次是有的學生在數學閱讀理解上存在障礙. 由于高中排列組合問題與生活都有一定的關系，學習排列組合實際上就是讓學生們運用所學知識去解決實際問題. 因此，在排列組合中往往會遇到很多問題情境，有的學生對這些問題情境如果較為陌生，就會產生數學閱讀理解障礙. 高中生的數學閱讀理解障礙主要表現為對題目的意思無法理解從而不會列式或是隨意列式，也有些學生不會正確使用排列組合的符號. 這些問題都說明了學生的數學語言轉換能力還十分低.

在排列組合中學生最常見的問題是無法找到正確的解題方法. 排列組合的題目是十分靈活的，題型也十分豐富，很多學生面對變幻復雜的題目找不到正確的解決策略，區分不了有序排列、無序組合，也不了解分類用加、分步用乘這一基本問題. 這必定導致學生無法正確選擇解決方法或是在解決方法的運用上存在明顯錯誤.

運算的錯誤在排列組合中表現得也較為集中，一部分學生是因為在運用公式進行運算的時候出現錯誤，另一部分學生是用排列組合公式化簡的時候出現錯誤.

以上這幾類問題，是高中生在學習排列組合時最常見的問題，因此必須采用有效的策略加以解決.

■反思

針對上述問題，筆者及時采用正確的解決策略來提高對排列組合理解和掌握程度.

1. 深化學生對概念的理解

對題目中所涉及的概念加以理解是解題的首要步驟，也是正確解答的根本保證. 因此筆者在復習加強課上首要就是幫助學生加深對概念的理解. 筆者為了消減學生對概念的陌生感，將一些日常生活中常見的情境引入了課堂教學當中，例如，在復習課上給學生創設了下列情境：“某列火車從本市出發，目的為北京，途經多站”，然后再把排列組合的問題添加進去. 這樣的情境練習可以幫助學生深入理解排列組合的意義，避免死記硬背. 在深化概念的過程中，筆者還增設了易混淆問題的辨析教學.例如分組問題和分配問題，筆者就進行了這樣的題目訓練：“將6個蘋果分給三個同學，第一個同學有3個蘋果，第二個同學有2個，第三個同學有1個”讓學生明確這樣的問題就是分組問題，而“將3個蘋果分給A同學，將2個蘋果分給B同學，將1個蘋果分給C同學”這樣的問題就是分配問題.

2. 重視學生思維訓練

排列組合問題解決除了要對概念進行正確理解之外，同時還要求學生有較強的思維能力. 筆者在以后教學中要求學生在解題的時候要有清晰的解題步驟，在每一步都要思考“我為什么要這么做”、“我這樣做符合題意么”、“我這樣的分類完整嗎”，讓學生自己用這樣引導性的問題訓練自己的思維，在解題過程中及時找到正確的解題思路，克服自己思維的不嚴謹，提高自己的邏輯水平. 因為排列組合題是一種思維的組合，這類題通常與實際生活相關，所以在排列組合的學習過程中，應該注重學生思維的訓練，將生活問題抽象為排列組合數學模型，再應用排列組合知識去解答.

3. 進行科學的專題訓練

排列組合問題雖然靈活多變，但是有著基本的題目類型和解題套路. 如果學生扎實掌握這些題目類型，則能大大提高自己的解題能力. 這些基本題目類型包括“分類與分布問題”. 分類問題要用分類計數原理，而分布問題要用分布計數原理；“特殊元素與特殊位置問題”應當以元素分析為主，全面考慮特殊元素的位置，在此基礎上再處理其他元素；“元素相鄰問題”可用捆綁法進行，將若干元素當做一個整體來進行排列；“相離問題”的主要做法是先解決其他元素，再把題目要求不能相鄰的元素進行排列. 此外，還有“正難則反”問題、“定序問題”等等.

■小結

排列組合練習題范文第2篇

一、創設研究情境，激發研究欲望

創設一定的教學情境是實施“研究性學習”的基礎。蘇霍姆林斯基說：“人的內心深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者”，因此教師在教學中必須注重學生的這種“根深蒂固”的心理需求，為研究性學習打下堅實的情感基礎。然而，對于低年級學生來說，由于其生活經驗有限，所以更應該用學生熟悉的且比較容易引入課堂的內容、材料或生活情境來創設一定的研究情境，以激發學生的“研究”欲望。如在教學“平均分”一課時，教師創設故事情境“兩只笨熊分餅”。通過教師生動形象的故事講述來激發學生積極主動地探索問題，“為什么兩只笨熊最后都沒有吃到餅？”從而聯系生活探索“平均分”的概念和生活中的“平均分”現象。再如，在教學“三角形內角和”的時候，教師可以從兩副三角板入手，讓學生提出猜想“是不是所有的三角形的內角和都是180O呢？”然后，學生可通過親自動手畫任意的三角形進行測量驗證，也可以任意剪一個三角形通過折一折，或剪掉三個角拼一拼來驗證。在此動手操作的過程中，學生不僅興趣高漲，且讓學生經歷了知識形成的過程。

二、提供研究材料，體現研究價值

讓學生進行“研究性學習”，必須有一定的載體，而開放性的學習材料則是實施“研究性學習”的有效保證。當然，開放性的學習材料有很多，但對低年級數學教學中實施“研究性學習”來說，主要是向學生提供一些開放性的練習題。因為數學開放題的條件可以是多余的，答案可以不是唯一的，解題的策略和方法也比較靈活，即它有開放性的特點，發揮各自想象力，展開數學思維和方法交流的機會，并且大部分學生都能參與，都樂于參與，這樣學生的主動性才能得到充分發揮，從而也就體現了“研究性學習”的根本宗旨。如在教學“排列組合”一課后，我上了一節數學活動課，主題內容是“我是小小研究者”，將數學課上學的知識進行拓展延伸。教師根據學習內容出示問題：（1）四人握手每兩人握一次，能握幾次？5人、6人、7人、100人呢？（2）3個數字可以排列成幾個兩位數？4個數、5個數、6個數……各能排列多少個兩位數？教師提供出有價值的探索問題后，學生通過動手、合作、實踐，自主探索出了排列組合的規律，學會了用式子計算，使得復雜問題變得簡單化。

三、倡導合作學習，培養研究能力

排列組合練習題范文第3篇

一、引起中學生數學應用意識和能力差的原因

1、對數學的價值認識不足。

“科學技術是第一生產力”，“科學技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學”。這一論述揭示了數學在生產力中的巨大作用。數學作為從量的方面處理現實世界中各種關系的科學，當然也要處理有關生產關系的問題。這就是數學的價值。但由于歷史的影響，教師們在過去的教學中過份強調數學的邏輯性、嚴謹性、系統性和理論性，寧可一遍遍地去重復那些嚴謹的數學概念、講授那些主要為解題服務的技巧，卻很少去講數學的精神、數學的價值、數學結論的形成與發現過程、數學對科學進步所起的作用等等內容。這使學生對數學的認識片面化、狹隘化，比如許多學生就認為“數學不過是一些邏輯證明和計算，”甚至認為“數學只是一個考試科目。”

2、用數學的意識差

用數學的意識，簡言之就是用數學的眼光，從數學的角度觀察事物、闡釋現象、分析問題。

意識是一個思想認識問題，也是一種心理傾向，其重在自覺性、自主選擇性，它需要在較長時間中通過一定量的實踐才能形成。

3、數學的能力弱（不善于建立數學模型）

數學課中要培養學生數學應用意識和能力，數學的建模是關鍵。我們面對的是學生，首先應從學生的實際情況分析，學生的閱歷有限，對應用問題的背景不熟，難以從中構建出數學模型，阻礙了對實際問題的解決。

二、 培養應用意識以數學教材中的應用問題為切入點

1、教材貼近現實，每一章的序言都編排了一個現實中的應用問題，引入該章的知識內容，以突出知識的實際背景。如在第三章《數列》以趣味話題：“國王對國際象棋棋盤發明者獎勵的麥粒數”的計算作為章頭序言，激發學習欲望，增加教材內容的趣味性。

2、以實際例子引入“具體問題”的研究。高中數學的十章內容中，分別就概念引入、實例說明、數學表示等方面有三十一處都恰當地運用了實際問題和具體情景。如用“不同重量信件的郵資問題”表示分段函數，用功和位移的關系引入向量數量積的概念等。實例引入增強了問題的實際背景，為順利解決問題作了鋪墊。

3、例題中的應用問題。例題中安排應用問題，一方面可以培養學生閱讀能力、分析問題、解決問題的能力，培養學生的應用意識，而且通過范例講解，使學生掌握解決應用問題的一般思想和方法。

4、練習、習題、復習題中增加了應用問題的分量。為使學生鞏固所學知識，逐步提高分析問題、解決問題的能力，新教材在練習題、習題、復習題中增加了大量的應用問題，量大面寬，情景新穎，融知識性、趣味性、自主實踐性于一體。

三、以數學應用題問題的教學實踐為著力點

1、注重培養學生基本方法和解題思路。只有在教學中結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想，才能為培養學生的應用意識，提高學生分析問題、解決問題的能力打下堅實的基礎。

教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化――數學問題――解決數學問題――回答實際問題。具體可按以下程序進行：

（1）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題非數學情景的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、縝密地閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。

（2）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。

（3）求解數學問題，得出數學結論。

（4）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。

2、引導學生養成善于歸納總結的良好習慣。為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題；②行程問題；③合力的問題；④排列組合問題；⑤最值問題；⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想建立數學模型。

3、選擇合適的教學方法。高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。

（1）章頭序言，指導閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。

（2）重視例題的示范作用。例題是連接理論知識與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系、建模、解決數學問題、還原為實際問題諸環節都應很好地起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。

（3）指導練習，鞏固方法。充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，運用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。

排列組合練習題范文第4篇

一、訓練問題解題法

為培養學生的應用意識，提高學生分析問題解決問題的能力，教學中首先應結合具體問題，教給學生解答應用題的基本方法、步驟和建模過程、建模思想。

教學應用題的常規思路是：將實際問題抽象、概括、轉化——數學問題、解決數學問題、 回答實際問題。具體可按以下程序進行：

（1）審題：由于數學應用的廣泛性及實際問題的多樣性，往往需要在陌生的情景中去理解、分析給出的問題，舍棄與數學無關的因素，抽象轉化成數學問題，分清條件和結論，理順數量關系。為此，引導學生從粗讀到細研，冷靜、慎密的閱讀題目，明確問題中所含的量及相關量的數學關系。對生疏情景、名詞、概念作必要的解釋和提示，以幫助學生將實際問題數學化。

（2）建模：明白題意后，再進一步引導學生分析題目中各量的特點，哪些是已知的，哪些是未知的。是否可用字母或字母的代數式表示，它們之間存在著怎樣的聯系？將文字語言轉化成數學語言或圖形語言，找到與此相聯系的數學知識，建成數學模型。

（3）求解：解出數學問題，得出數學結論。

（4）還原：將得到的結論，根據實際意義適當增刪，還原為實際問題。

例：某城市現有人口總數100萬人，如果年自然增長率為1.2％，寫出該城市人口總數y(人)與年份x(年)的函數關系式。

這是一道人口增長率問題，教學時為幫助學生審題，我在指導學生閱讀題時，提出了以下要求：

——粗讀，題目中涉及到哪些關鍵語句，哪些有用信息？解釋“年自然增長率”的詞義，指出：城市現有人口、年份、增長率，城市變化后的人口數等關鍵量。

——細想，問題中各量哪些是已知的，哪些是未知的，存在怎樣的關系？

——建模，啟發學生分析這道題與學過的、見過的哪些問題有聯系，它們是如何解決的？對此有何幫助？

學生討論后，從特殊的1年、2年…抽象歸納，尋找規律，探討x年的城市總人口問題： y=100·(1+1.2%)x。

二、引導學生將應用問題進行歸類

為了增強學生的建模能力，在應用問題的教學中，及時結合所學章節，引導學生將應用問題進行歸類使學生掌握熟悉的實際原型，發揮“定勢思維”的積極作用，可順利解決數學建模的困難，如將高中的應用題歸為：①增長率（或減少率）問題②行程問題③合力的問題④排列組合問題⑤最值問題⑥概率問題等。這樣，學生遇到應用問題時，針對問題情景，就可以，通過類比尋找記憶中與題目相類似的實際事件，利用聯想，建立數學模型。

三、針對不同內容采取不同教法

高中新教材的數學應用問題遍及教材的各個方面，教學時只要針對不同內容，有的放矢，各有側重，就會取得較好的效果。

1.章頭序言，指導閱讀，留下懸念。對圖文并茂的章頭序言，由教師簡單提出或由學生閱讀，使學生稍作碰壁，留下解題懸念，增強解決問題的欲望。

2.重視例題的示范作用。例題是連接理論知識，與問題之間的橋梁，示范性強。因此在講解例題時應在分析題目各個量的特點關系，建模，解決數學問題、還原為實際問題的諸多環節都應很好的起示范作用，教師應重視例題的分析與講解，積極進行啟發式教學，培養學生分析問題、解決問題、尋求基本實際模型的能力，重視數學理論知識與實際應用的聯系。

3.指導練習，鞏固方法。充分運用課本的練習題、習題、復習題，讓學生自己動手、動腦，應用所學的知識解決實際問題。練習題位于具體的理論知識后面，建模方向性強，教師只需稍作指導；而習題則更多利用教師批改作業的機會，主要糾正數學語言轉化過程，及解題的規范過程；復習題由于綜合性強，學生獨自解決有困難，教師要給予必要的指導、提示。

4.課外閱讀，補充提高。對于不作教學要求的閱讀材料，根據教學進度提出閱讀要求，布置學生進行課外閱讀，培養學生的閱讀能力，擴大知識面，激發學生的學習興趣。

5.實習作業，重視實際操作與團結協作。完成實習作業，可以打破單一沉寂的課堂教學氛圍，激發學生的探索精神，培養學生的實踐能力，進一步培養學生應用數學的意識和創新能力。但實際問題的因素是錯綜復雜的，這就要求學生在調查、分析、研究的基礎上，抓住本質，通過篩選，去粗取精，結合數學知識，進行建模解決實際問題。如第五章《三角函數》中的實習作業，對不能直接測量的兩點的距離，教師選定符合要求的地點，組織學生實際測量，通過計算器進行計算，學生興致很高，特別是對“已知兩邊和一對角”解三角形的三種情況，通過動手操作，實地測量，加深影響，激發了學生的探索精神，增強了學生的感性認識。

6.研究性課題，重視自主探究。“研究性課題”是新教材中的一個專題性欄目，具有探究性和應用性的特點，它既是所學內容的實際綜合應用，又對學生探究和解決問題具有較好的訓練價值。

“研究性課題”，一個有關分期付款的問題，因為很多人一次性地支付售價較高的商品款額有一定困難，另一方面不少商家也不斷改進營銷策略，方便顧客購物和付款，它與每個家庭的日常生活密切相關，在今天的商業活動中應用日益廣泛。對它的探究將會引起學生極大的興趣，教學這一課題時，應突出以學生探究為主，教師點拔、介紹為輔，教師不斷提出問題，介紹情況，啟發誘導。鼓勵學生研究和探索。

第一步，讓學生閱讀教材中的方案表，明確每個付款方案的次數、方式。

第二步，引導學生探究第二種方案，即分6次付清，購買后第2個月第一次付款，再過2個月第2次付款……購買后12個月第6次付款，月利率為0.89％，每月利息按復數計算。

首先，學生根據要求試做，不少學生得出每期付款多少元，也有學生得出每期付款多少元。這時教師不必指出對錯，進一步分析、調整學生思維，這兩種方式對誰有利？學生計算后，自然得出前者對顧客有利，商家吃虧，而后者對商家有利，顧客吃虧，都不符合買賣公平的原則。

排列組合練習題范文第5篇

【關鍵詞】 有序思考 滲透 數學思想方法

“滲透”就是把某些抽象的數學思想逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些思想有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們。數學思想方法是數學知識的精髓，又是把知識轉化為能力的橋梁。一個充滿教育智慧的教師，不僅要教給學生前臺的基礎知識，更要教給學生后臺的數學思想方法，讓學生真真地學會數學思考。讓學生獲得基本的數學思想方法，是小學數學新課程教學改革的新視角之一，課標還在關于“數學思考”的目標中提出“在解決問題的過程中能進行簡單的，有條理的思考”。那么，怎樣培養學生進行有序思考？怎樣的學習內容和學習方式對培養學生問題解決利用“有序性”思考的效果好些呢？筆者進行了一一梳理。

1 培養學生“有序性”思考能力是可行的也是必要的

有序思考是學生按照一定的順序，使其不遺漏又不重復的一種思維方法。學生的有序思考能力不是與生俱來的，也不是在哪天突然間就會了的。而是通過數學內容的學習和課堂教學中有意識的培養逐步形成的。北師大版實驗教材中，有序性思考的教學內容，在各個領域的教學中都有滲透，幾乎每個年級都滲透“有序思考”的方法，（如下表）這使學生在解決問題的過程中自覺地運用了這一思想方法。

以一年級的學生為例，由于年齡小，他們的思考常常是無序的，想到哪兒就說到哪兒。這更需要教師在平時的教學中逐步的滲透，培養學生養成有序思考的習慣，使學生在潛移默化中學會學習和有序的思考。

例如：小學數學北師大版一下的數學書上第60頁中有這樣一道題：下面（ ）里可以填什么數？10+30>（ ）、20+（ ）

在做這道練習時，我還是多留了個心眼。我先讓學生獨立思考，自己嘗試。正如同事所言，我發現大部分同學只寫了一種方法。但學生真的只是這么想的嗎？在討論交流10+30>（ ）的時候，學生爭先恐后地發言，說出了很多的答案，結果括號里寫不下了。我故意把問題拋給學生：“怎么想，不重復，也不漏掉，能一下子說出所有的答案。有什么好辦法嗎？”學生陷入了沉思，馬上有一個同學首先舉手了：“括號里的數只要小于40就行了。”真的如此嗎？我讓學生討論一下，大家興奮地發現，果然可以按照這樣的規律寫，一下子寫出所有的數了。完成第2題就簡單了。經過思考，學生發現，20+（ ）（ ）、60+（ ）

總之，只要我們教師細心地觀察、積極地引導和訓練，一年級的學生也會在我們的數學課堂上張開有序思考的翅膀。在開放練習中，學生有序思考的能力得到提高，學生發現了規律，提升了思維的層次。只要我們能做個有心人，能持之以恒，學生就能逐步形成有序地、全面地思考問題的意識，進而達到《課標》要求，使學生在現實生活、社會實踐中觀察事物、發現問題、分析問題等各方面形成有序思考的能力。

2 在探究中滲透“有序性”思想，培養學生的有序思考習慣

邏輯思維能力應該從小抓起，通過各個教育環節，潛移默化地、循序漸進地、不間斷地進行。首先要從培養學生潛在的有序性思考入手，經過發展潛創造力，培養良好的創造情境動機，然后轉變為現實創造力，實現了對學生邏輯思維能力的培養。在有序性的教學過程中，我們用創造學理論指導教學，注重對學生創造性思維的人格特征的培養。

例如：北師大版五上《旅游費用》一課的教學中，學生在計算這樣一道題：某小學四年級155人去秋游，大客車40個座位，車費1000元；面包車25個座位，車費650元，有哪些租車方案？哪種方案最省錢？結果在全班匯報時發現，學生的思考都是無序的，想到一種方案就算一種，出現了重復和遺漏。生1：我有兩種方案。第一種全租大客車4輛，共4000元，第二種全租面包車7輛共4550元，所以全租大客車省錢。生2：我還有補充。還可以租3輛大客車，2輛面包車，共4300元……

在這樣的情況下，教師有意設置認知沖突，促使顯示另辟蹊徑，進行數學思考。于是引導學生進行反思：怎樣才能做到不重復又不遺漏呢？在引導學生有序的思考后，得出所有的方案，并列成表格。（如下表）

最后得出：租2輛大客車，3輛面包車最省錢。

這樣的探究才是學生最迫切需要的，是在學生的最近發展區，才能最充分地調動學生的內部動機，而探究的結果也將成為學生記憶最深刻的知識。通過引導學生進行反思，比較其前后兩種方法的異同，有利于學生發現其中的規律，學會有序思考，從而提高學生思維的質量，培養學生高水平的數學思維。“有序性”數學思想方法也得到了滲透，培養學生養成了有序思考的習慣，使學生在潛移默化中學會學習和思考。

又如：《搭配中的學問》一課，課中出現的搭配衣褲的情境，我們如何幫助學生從這些生活現象中提取數學信息，使學生學會簡單、易行的有序性思考方法，從而培養學生的數學能力，這是我們應該重點關注的。從事件現象到數學符號，這個產生過程非常重要。教學中，教師盡可能請學生根據要求，用卡片動手擺一擺。之后設置了衣服卡片不夠用的情況，師問：“沒有卡片怎么解決？”學生就可能會用許多符號來表示這些實物、字母、數字、幾何圖形等，在反饋時，發現學生已經有了多種表示方法，我就讓學生展示這些方法。

方法1：

方法4：3×3=9（套）。生：第一件上衣分別搭配三條褲子有三套，一共有三件上衣和三條褲子，是3個3，就是9套。

生：上衣有三件，只寫一個字不能分出是哪件，寫多了字又太麻煩，所以，我用衣1、衣2、衣3來表示，褲子有三條，同樣用褲1、褲2、褲3來表示，這樣連線搭配后，也是3個3，就是9套……

這樣，可以充分暴露學生個性化的思維習慣方式，且他們主動參與的熱情也將會更高。學生可以從上衣出發考慮，也可以從褲子出發，滲透有序思考的意識，思維層次就更高了。“排列與組合”是一種思維有序性的教學。這部分知識有許多生活原型，縱觀“創設問題情境――建立數學模型――解釋與應用”的過程，讓學生充分經歷“排列與組合”這一數學知識再發現、再創造的過程，激勵和尊重學生多樣化的獨立思維方式，實現個性化的學習。由此想到，教學有三重境界：一是教知識；二是教方法；三是教思想。新課程下的小學數學比以往更加重視了數學思想方法的蘊涵，我們在平時的教學中也應該及時地對數學思想、方法進行提煉、歸納和概括，應該引導學生靈活地運用數學思想方法解決數學問題，讓數學思想方法逐步深入人心，最終內化為學生的數學素養。

3 在練習中滲透“有序性”思想，提高學生的解題策略能力

練習題是小學數學教材的重要組成部分，是學生進行有效學習的重要載體。在課改實踐中，有些教師比較重視例題的教學，卻不屑對課本習題作精細化的研究，以致習題的功能被弱化，習題中隱含的一些有價值的因素未能被充分開發與利用，教材的意圖不能凸顯。其實，只要我們多思考它對提升學生思維、促進學生發展的價值，則看似簡單的習題背后蘊藏著豐富、深刻和生動，一些練習題還大有文章可做。

3.1 善于運用針對性練習。幾乎每個年級都安排了不少“有序思考”的練習，如（以北師大教材為例）一年級上冊書上的+=6，7-=；三年級上冊“搭配中的學問”；四年級下冊“數圖形中的學問”、“圖形中的規律”等等。教師應善于發現這部分針對性練習，做到心中有數。例如有這樣一道練習題：給一本書編頁碼，一共用去732個數字，這本書一共有多少頁？按照每個頁碼所用數字的個數分類：①只用一個數字的有1～9頁，共用了9個數字；②用兩個數字的有10～99頁，共用了2×（99-9）=180（個）數字；③余下的（732-180-9）個數字用來編三位數的頁碼，可以編（732-180-9）÷3=181（個）頁碼。于是可以求出這本書一共有9+90+181=280（頁）。有些數學問題，由于條件與問題之間的聯系不是單一的，情況比較復雜，為了解決問題的方便，需要對各種情況加以分類，有序的逐類求解，然后綜合得解。

通過一些針對性練習，使學生能按照一定的條理，朝著有利于解題的思維方向去思考。教師對教材中練習的深入思考，對自己閱讀教材的能力是一種提升，教師有意識的引導學生有序地思考，學生的學習會更加的有效。一次小練習，對教師和學生來說都是一次思考的提升，有思有得，在不斷的思考中教學相長。

3.2 充分挖掘練習的內在價值。我們平時在做練習時往往滿足于得到正確答案，而忽略了答案背后所隱含著的更為深刻的思維引導價值。學生的有序思考能力正是通過數學內容的學習和課堂教學中有意識的培養逐步形成的。因此，教師要走出“為練而練”的誤區，合理地對習題進行深度挖掘，舉一反三。像上面的20+（ ）

3.3 對一題多解合理優化。一題多解，有利于挖掘題目信息，聯貫所學知識，培養學生發散思維；改變問題背景，多題一解，建模歸類，有利于培養學生的收斂思維，從而加深學生對數學知識的深刻理解，更重要的是它擴大了學生的認知空間，激發學生創造靈感，培養學生的創新欲望，訓練學生思維的變通和求異性。但我們要引導學生（特別是中下學生）從多種解法中比較出方法的優劣。

例如：前面《搭配中的學問》搭配衣褲的情境，學生展示了5種比較典型的方法，教師組織比較，問：“這些方法你喜歡哪一個，為什么？”生1：第1種方法好。因為他用表示上衣，用表示褲子，看起來很清楚。生2：第5種方法好。因為他有文字又有數字，每一件衣服的編號都不一樣，一看就知道有三件。生3：第4種方法最好。因為一件衣服分別搭配三條褲子有三套，一共有三件衣服，就是3個3，列式就是3×3=9（套）……

方法本身沒有好壞，但在具體題目中有運算繁簡之分，思維上有難易之別，書寫上有長短之分，不同的同學，元認知起點不同，選擇也不一樣，但我們要學會去選擇。因此，我們要通過引導學生進行反思，比較其異同，有利于學生發現其中的規律，學會有序思考，使多種多樣的算法不再僅僅是某些學生的突發奇想，而成為按照一定方法有序思考的必然產物，從而提高思維質量，培養高水平的數學思維。

3.4 重視方法的具體指導。教學時，教師不能孤立地教學其中的某種策略，而應了解編者的意圖，有機地將前后策略聯系起來，提高策略教學的有效性。？要培養學生的有序思考能力，特別是對于低年級的孩子來說，方法的具體指導是十分重要的。例如：在數的組成這一練習中，為了幫助學生有序化地思考，教師需要借用一種簡便易行的方法幫助學生分析。如圖： 可以先打框，問學生怎么排比較好。有了這個模式，學生的思維更有序了。

同時，我們需要對學生已有的認知經驗作必要的了解，從而來修正自己的教學設計。比如，學生在學習《排列組合》之前是否接觸過類似的數學問題。在二年級的《直線和線段》這一課中，教師教學數線段方法并使之優化時，就曾經講過通過計算的方法。如：下圖里有幾條線段？

這實際上已經蘊涵著組合的思想，即點與點的組合。用“4+3+2+1=10”的方法計算，很快地就可以算出結果。這為數三角形、長方形奠定基礎。不過小學生學習的重點還是經歷這種探究過程，不能急于概括算法。我們如何有效地利用學生的認知起點為學生的思維能力發展服務，這是一個永遠值得研究的課題。

總之，要抓住每次練習機會，給學生充足的思考時間，并給學生一些具體的指導，讓他們漸漸養成并學會有序思考。有序思考的步驟一般如下：①有序地思考的第一步：提取信息，瞄準目標。②有序地思考的第二步：觀察聯想，盤點家底。③有序地思考的第三步：關聯利用，擇決途徑。④有序地思考的第四步：鑒別優劣，規范表述。

4 及時總結梳理所滲透的數學思想及方法，深化學生的思維

對本節課所滲透的數學思想及方法進行總結梳理。這是深化學生思維的重要內容。學生對所學知識有無深刻的理解和認識，就要看他對整節課堂學習中知識發生、發展過程中所體現的數學思想方法的認識程度。對學生的發展而言，學習的價值不只是記住幾個數學結論，解決幾個習題而已，而是讓學生在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同策略的，這些解決問題的策略，滲透著數學的思想方法在里面。當學生能用自己的語言表達對問題的理解，對常見的數學思想方法有一定認識的時候，學生的思維才能真正得到升華。

例如：“用0、3、5、6能組成哪些四位數？”這一練習題，學生看完題目就開始寫了，有些學生的思考是無序的，寫出的數字都是雜亂無章的，如3560、6530、5036等，但有些學生的思考是有序的，在匯報時，根據學生匯報板書：

生1：3056、3560、6530、6053、5630、6035

生2：3056、3065、3506、3560、3605、3650

5036、5063、5306、5360、5603、5630

6035、6053、6305、6350、6503、6530

引導學生對兩種方法進行比較，師問：為什么兩組數字相差這么多？你能比較出兩種方法的不同嗎？學生討論后，教師進行總結：用一些給定的數字組成多位數時，先確定最高位上的數字，然后依次往下排列，這樣可以使得到的數比較完整，而且易于比較。這是一種有序思考問題的方法，有了這種有序思想，就有了思維的方向，也就有了行動的方向。

在小結時都應該引導學生結合過程知識進行高度概括。讓學生深刻體會到數學思想這個“隱身人”在解決問題中的作用。在小結中不斷讓學生體會常見的數學思想方法，如：函數與方程思想，數形結合思想，分類討論思想，化歸與轉化思想。等等，能讓學生的思維能達到一個較高的思維水平，能讓學生用數學來思考問題，分析問題，解決問題，從而提高學生的整體數學水平。

總之，有序性思考是最有利于培養學生的右腦智力，使左右腦協調發展，把抽象思維和形象思維有機的結合起來的一種教學模式。作為小學教育工作者，要在課堂上有意識的引導學生，滲透有序思考的數學思想，來解決一些有序性思考的問題，逐步培養學生的邏輯思維能力。只有經過邏輯思維，人們才能達到對具體對象本質規定的把握，進而認識客觀世界。因此，我們的課堂應該是學生感受數學思想的啟迪課、運用數學方法的訓練課。它對學生今后的數學知識建構、其他學科的探究學習乃至終身學習的能力發展都將大有裨益。

參考文獻

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